第二章 數(shù)據(jù)描述

第四節(jié) 用數(shù)字來(lái)概括數(shù)據(jù)

針對(duì)一組數(shù)據(jù)的分布特征，我們可以從兩個(gè)方面來(lái)考查它：一是該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，即該組數(shù)據(jù)的數(shù)值向其中心值的靠攏程度。二是該組數(shù)據(jù)的離散程度，它反映的是該組數(shù)據(jù)的各個(gè)數(shù)值遠(yuǎn)離其中心的趨勢(shì)和程度。

一.定性數(shù)據(jù)的數(shù)字特征

由于定性數(shù)據(jù)主要是計(jì)數(shù)，比較簡(jiǎn)單，對(duì)定性數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)常用的方法就是計(jì)算比例、百分比、中位數(shù)和眾數(shù)。

中位數(shù)是將總體各單位標(biāo)志值按大小順序排列，處于中間位置的那個(gè)數(shù)(如果樣本量為奇數(shù))，或者中間兩個(gè)數(shù)目的平均(如果樣本量為偶數(shù))。

眾數(shù)就是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)或出現(xiàn)頻率最多的數(shù)值。在定性數(shù)據(jù)中，由于記錄的是頻數(shù)，因此眾數(shù)用得多些。

二.定量數(shù)據(jù)的數(shù)字特征

反映定量數(shù)據(jù)特征的統(tǒng)計(jì)量常用的有：

反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的水平度量：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和分位數(shù)等

反映數(shù)據(jù)離散程度的差異度量：極差、四分位差、標(biāo)準(zhǔn)差和方差

(一) 水平的度量

1. 平均數(shù)

平均數(shù)也稱為均值，是把某一組數(shù)據(jù)進(jìn)行算術(shù)平均，用以表述某一事物的平均水平，它在統(tǒng)計(jì)中叫做均值。

簡(jiǎn)單平均數(shù)：把一個(gè)變量的所有觀測(cè)值相加再除以觀測(cè)值的數(shù)目

加權(quán)平均數(shù)：如果原始數(shù)據(jù)為分組數(shù)據(jù)，則采用加權(quán)平均數(shù)公式計(jì)算，其中的權(quán)數(shù)f為各組的頻數(shù)。

2. 中位數(shù)

數(shù)字按順序排列后，處于中間位置的數(shù)即是。如總位數(shù)為奇數(shù)，中間數(shù)即是;若為偶數(shù)，則是中間兩位數(shù)的平均值。

3. 眾數(shù)

數(shù)組中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)。

4. 用哪個(gè)值代表一組數(shù)據(jù)

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)是描述數(shù)據(jù)水平的三個(gè)主要統(tǒng)計(jì)量，要合理使用則需要了解它們的不同特點(diǎn)和應(yīng)用場(chǎng)合。平均數(shù)易為多數(shù)人理解和接受，實(shí)際中用的也較多，但主要缺點(diǎn)是更容易受少數(shù)極端數(shù)值的影響，對(duì)于嚴(yán)重偏態(tài)分布的數(shù)據(jù)，平均數(shù)的代表性較差。中位數(shù)和眾數(shù)提供的信息不像平均數(shù)那樣多，但它們也有優(yōu)點(diǎn)，比如不受極端值的影響，具有統(tǒng)計(jì)上的穩(wěn)健性，當(dāng)數(shù)據(jù)為偏態(tài)分布，特別是偏斜程度較大時(shí)，可以考慮選擇中位數(shù)和眾數(shù)，這時(shí)它們的代表性要比平均數(shù)好。

(二) 差異的度量

對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象不僅需要對(duì)現(xiàn)象的集中趨勢(shì)進(jìn)行分析(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))，而且還需要進(jìn)行差異程度分析即離散程度分析。研究事物現(xiàn)象的差異性，從差異性的事物現(xiàn)象中，尋求解決差異性的一些方法。

1. 極差( Range)

極差又稱全距，是最簡(jiǎn)單的離散指標(biāo)，它是一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值之差。

計(jì)算極差非常簡(jiǎn)單，含義也很直觀。但是，它僅僅受最大值和最小值的影響，不能反映一組數(shù)據(jù) 分布的情況，而且它非常容易受數(shù)據(jù)中極端值的影響。因此，它不能準(zhǔn)確地描述數(shù)據(jù)的分散程度。

2. 方差和標(biāo)準(zhǔn)差

為了反映數(shù)據(jù)中的每一個(gè)觀察值與平均水平的差異程度就必須引入方程和標(biāo)準(zhǔn)差的概念。

方差：將各個(gè)變量值和其均值離差平方的平均數(shù)，作為樣本數(shù)據(jù)，它反映了樣本中各個(gè)觀測(cè)值到其均值的平均離散程度。

標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，它與方差相比更具量綱性，而且與變量值的計(jì)量單位相同，使用的范圍比方差更廣泛。

在一個(gè)統(tǒng)計(jì)樣本中，其標(biāo)準(zhǔn)差越大，說(shuō)明它的各個(gè)觀測(cè)值分布的越分散，它的趨中程度就越差。反之，其標(biāo)準(zhǔn)差越小，說(shuō)明它的各個(gè)觀測(cè)值分布的越集中，它的趨中程度就越好。

3. 離散系數(shù)

離散系數(shù)也稱變異系數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，它是將一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差除以其均值，用來(lái)測(cè)度數(shù)據(jù)離散程度的相對(duì)數(shù)。

4. 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)

標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)也稱標(biāo)準(zhǔn)化值或Z分?jǐn)?shù)，它是變量值與其平均數(shù)的離差除以標(biāo)準(zhǔn)差后的值，用以測(cè)定某一個(gè)數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中的相對(duì)位置。

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