第二十四章 數(shù)據(jù)特征在測度

一、集中趨勢的測度

集中趨勢是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的傾向，測度集中趨勢也就是尋找數(shù)據(jù)一般水平的代表值或中心值。集中趨勢的測度，主要包括位置平均數(shù)和數(shù)值平均數(shù)。位置平均數(shù)是指按數(shù)據(jù)的大小順序或出現(xiàn)頻數(shù)的多少，確定的集中趨勢的代表值，主要有眾數(shù)、中位數(shù)等;數(shù)值平均數(shù)是指根據(jù)全部數(shù)據(jù)計(jì)算出來的平均數(shù)，主要有算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)等。

(一)眾數(shù)

眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻數(shù)最多的那個(gè)數(shù)值，用M₀表示。例如，一家連鎖超市的10個(gè)分店某月的銷售額(單位：萬元)分別為：

61 65 73 78 80 80 80 80 96 97

這l0個(gè)分店月銷售額的眾數(shù)為M₀=80(萬元)

用眾數(shù)反映集中趨勢，非常直觀，不僅適用手品質(zhì)數(shù)據(jù)，也適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)。眾數(shù)是一個(gè)位置代表值，不受極端值的影響，抗干擾性強(qiáng)。所謂極端值就是明顯比其他數(shù)據(jù)大得多或小得多的數(shù)值。

(二)中位數(shù)

把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序進(jìn)行排列，位置居中的數(shù)值叫做中位數(shù)，用M_e表示。中位數(shù)將數(shù)據(jù)分成兩部分，其中一半的數(shù)據(jù)小于中位數(shù)，另一半數(shù)據(jù)大于中位數(shù)。這里只簡單介紹一下根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)的方法。

根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)時(shí)，要先對數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，然后確定中位數(shù)的位置，其公式為：

中位數(shù)位置= (n+1)/2

式中，n為數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。最后確定中位數(shù)的具體數(shù)值。

設(shè)一組數(shù)據(jù)為X₁，X₂，…，X_n，按從小到大順序?yàn)閄₍₁₎，X₍₂₎，…，X_(n)，則中位數(shù)為：

例如，某地級市下轄9個(gè)縣，每個(gè)縣的面積如下(單位：平方千米)，計(jì)算該市下轄縣面積的中位數(shù)：

1455 2019  912 1016 1352 1031 2128 1075 2000

首先，將上面的數(shù)據(jù)排序結(jié)果如下：

912 1016 1031 1075 1352 1455 2000 2019 2128

中位數(shù)位置=(9+1)÷2=5，中位數(shù)為1352，即M_e =1352(平方千米)

在上例中，由于行政區(qū)劃調(diào)整，臨市的一個(gè)面積為1000平方千米的縣劃歸該市。行政區(qū)劃調(diào)整后，該市現(xiàn)在下轄10個(gè)縣，該市下轄縣的面積(單位：平方千米)從小到大依次為：

912 1000 1016 1031 1075 1352 1455 2000 2019 2128

計(jì)算行政區(qū)劃調(diào)整后該市下轄縣面積的中位數(shù)：

中位數(shù)位置=(10+1) ÷2=5.5，中位數(shù)為1213.5，即

M_e= (1075+1352)÷2=1213.5(平方千米)

中位數(shù)主要用于順序數(shù)據(jù)，也適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不適用于分類數(shù)據(jù)。中位數(shù)也是一個(gè)位置代表值，不受極端值的影響，抗干擾性強(qiáng)。

(三)算術(shù)平均數(shù)

算術(shù)平均數(shù)是全部數(shù)據(jù)的算術(shù)平均，又稱均值，用 表示。算術(shù)平均數(shù)是集中趨勢最主要的測度值，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中具有重要的地位，是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析和統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。它主要適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不適用于品質(zhì)數(shù)據(jù)。根據(jù)數(shù)據(jù)表述形式的不同，算術(shù)平均數(shù)有不同的計(jì)算形式和計(jì)算公式。

1.簡單算術(shù)平均數(shù)。簡單算術(shù)平均數(shù)主要用于處理未分組的原始數(shù)據(jù)。設(shè)一組數(shù)據(jù)為X₁，X₂，…，X_n，簡單算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式為：

例如，某售貨小組有5名營業(yè)員，元旦一天的銷售額分別為520元、600元、480元、750元和500元，求該日平均銷售額。

計(jì)算結(jié)果表明，元旦5名營業(yè)員的平均銷售額為570元。

2.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)主要用于處理經(jīng)分組整理的數(shù)據(jù)。設(shè)原始數(shù)據(jù)被分成k組，各組的組中值為X₁，X₂，…，X_n，各組的頻數(shù)分別為f₁，f₂，…，f_k，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式為：

例如，某市商業(yè)企業(yè)協(xié)會(huì)根據(jù)100個(gè)會(huì)員樣本，整理出一年銷售額分布資料：

計(jì)算年平均銷售額。

首先確定組中值，計(jì)算結(jié)果在表24—1中列出。代入公式得：

計(jì)算結(jié)果表明，100個(gè)商業(yè)企業(yè)的年均銷售額為240萬元。

計(jì)算和運(yùn)用算術(shù)平均數(shù)需注意：第一，算術(shù)平均數(shù)同時(shí)受到兩個(gè)因素的影響，一個(gè)是各組數(shù)值的大小，另一個(gè)是各組分布頻數(shù)的多少。在數(shù)值不變的情況下，哪一組的頻數(shù)多，該組的數(shù)值對平均數(shù)的作用就大，反之哪一組的頻數(shù)少，該組數(shù)值對平均數(shù)的影響就小。頻數(shù)在加權(quán)算術(shù)平均數(shù)中起著權(quán)衡輕重的作用，這也是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)“加權(quán)”一詞的來歷。第二，算術(shù)平均數(shù)易受極端值的影響。比如有下列資料：5、7、5、4、6、7、8、5、4、7、8、6、20，全部資料的平均數(shù)是7.1，實(shí)際上大部分?jǐn)?shù)據(jù)(有10個(gè))不超過7，如果去掉20，則剩下12個(gè)數(shù)的平均數(shù)為6。由此可見，極端值的出現(xiàn)，會(huì)使平均數(shù)的真實(shí)性受到干擾。

(四)幾何平均數(shù)

n個(gè)觀察值連乘積的n次方根就是幾何平均數(shù)。根據(jù)資料的條件不同，幾何平均數(shù)也有加權(quán)和不加權(quán)之分。這里只介紹簡單幾何平均數(shù)的計(jì)算。

設(shè)一組數(shù)據(jù)為X₁，X₂，…，X_n，且大于0， g表示幾何平均數(shù)，則：

式中，Ⅱ?yàn)檫B乘積符號。

例如，某型號鉆頭的生產(chǎn)，需經(jīng)過6道不同的加工工序，各道工序的合格率如表24—2所示，計(jì)算平均合格率。

用幾何平均數(shù)的方法進(jìn)行計(jì)算，得：

各道工序的平均合格率為96.63%。

計(jì)算幾何平均數(shù)要求各觀察值之間存在連乘積關(guān)系，它的主要用途是：①對比率、指數(shù)等進(jìn)行平均;②計(jì)算平均發(fā)展速度。

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