2016省公務(wù)員考試行測(cè)備考:數(shù)量關(guān)系之植樹問題

一、植樹問題的類型和應(yīng)對(duì)公式

例如：在一周長(zhǎng)為100米的湖邊種樹，如果每隔5米種一棵，共要種多少棵樹?這樣在一條“路”上等距離植樹就是植樹問題。在植樹問題中，“路”被分為等距離的幾段，段數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距、總路長(zhǎng)=間距×段數(shù)。

根據(jù)植樹路線的不同以及路的兩端是否植樹，段數(shù)與植樹的棵數(shù)的關(guān)系式也不同，下面就從不封閉路線的植樹和封閉路線植樹來一一說明。

(1)不封閉植樹：指在不封閉的直線或曲線上植樹，根據(jù)端點(diǎn)是否植樹，還可細(xì)分為以下三種情況：

①兩端都植樹：兩個(gè)端點(diǎn)都植樹，樹有6棵，段數(shù)為5段，即有植樹的棵數(shù)=段數(shù)+1，結(jié)合段數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距，則：棵數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距+1，總路長(zhǎng)=(棵數(shù)-1)×間距。

②兩端都不植樹：兩個(gè)端點(diǎn)都不植樹，可知植樹的棵數(shù)=段數(shù)-1，結(jié)合段數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距，則：棵數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距-1，總路長(zhǎng)=(棵樹+1)×間距。

③只有一端植樹：只有一個(gè)端點(diǎn)植樹，可知植樹的棵數(shù)=段數(shù)，結(jié)合段數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距，則：棵數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距，總路長(zhǎng)=棵數(shù)×間距。

(2)封閉植樹：指在圓、正方形、長(zhǎng)方形、閉合曲線等上面植樹，因?yàn)轭^尾兩端重合在一起，所以種樹的棵數(shù)等于分成的段數(shù)。所以棵數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距，總路長(zhǎng)=棵數(shù)×間距。

二、兩邊植樹問題

除了在路的一邊植樹外，還有路的兩邊都植樹的情況，這時(shí)就要先判斷出植樹類型，計(jì)算出一邊植樹的情況，再根據(jù)一邊求兩邊情況。

【例題1】如果每500米遠(yuǎn)架一根電線桿，則30公里需要架設(shè)多少根電線桿?

A.31 B.30 C.61 D.60

解析：此題答案為C。共需要架設(shè)30×1000÷500+1=61根電線桿。

三、不同間隔植樹問題

在一些植樹問題中，往往存在兩種或多種植樹方式。這種情況下，就會(huì)出現(xiàn)重復(fù)植樹問題，這嘗嘗需要結(jié)合最小公倍數(shù)找出重合點(diǎn)。

【例題2】某工地從一條直道的一頭到另一頭每隔3米打一個(gè)木樁，一共打了49個(gè)木樁。現(xiàn)在要改成4米打一個(gè)木樁，那么可以不拔出的木樁共有多少個(gè)?

A.8 B.9 C.11 D.13

解析：此題答案為D。每隔3米打一木樁對(duì)應(yīng)每隔3米植樹，兩端都打?qū)?yīng)兩端都植樹，因此直道的總長(zhǎng)=段數(shù)×間距=(棵數(shù)-1)×間距=(49-1)×3=144米。

依題意，不拔出來的木樁距離起點(diǎn)的距離必須能被3和4整除，3和4的最小公倍數(shù)是12，即從起點(diǎn)開始每隔12米有一個(gè)木樁可以不拔出，144÷12=12，故有12+1=13根木樁不用拔出。

四、植樹問題變形

在數(shù)學(xué)運(yùn)算中還有一些變形題，如鋸木頭、走樓梯等實(shí)際問題，這些變形只是形式上的改變，其本質(zhì)仍然是植樹問題。在最近幾年的行測(cè)考試中，植樹問題往往以這種變形題出現(xiàn)。

解決植樹問題的變形題，要注意端點(diǎn)是否“植樹”，分清“棵數(shù)”與“段數(shù)”之間是+1還是-1。

常見的變形題：鋸木頭、爬樓梯、重合、隊(duì)列問題均可視為兩端都不植樹問題，其中的知識(shí)要點(diǎn)如下：

鋸木頭：要鋸成n段，則需鋸(n-1)次;

爬樓梯：從1層到n層，需爬(n-1)段樓梯;若每爬完一段，休息一次，則需休息(n-2)次;

重合問題：n段接在一起，重合的有n-1段;

隊(duì)列問題：有n個(gè)人(或n輛車)，中間有n-1個(gè)空。

【例題3】把一根鋼管鋸成小段，一共花了28分鐘。已知每鋸開一段需要4分鐘，這根鋼管被鋸成了多少段?

A.3 B.4 C.6 D.8

解析：此題答案為D。要求鋼管被鋸的段數(shù)，必須首先求出鋼管被鋸開幾處。

從上圖我們可以看出鋼管有28÷4=7處被鋸開，因而鋸開的段數(shù)有7+1=8段。題中被鋸開的地方即植樹位置，因此問題相當(dāng)于“兩端都不植樹”問題，棵數(shù)=段數(shù)-1。

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（責(zé)任編輯：中大編輯）

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