第三節(jié)        動力學(xué)

動力學(xué)研究力和運動間的關(guān)系。

知識點：

1. 動力學(xué)基本定律：牛頓定律

2. 動力學(xué)普遍定理；

動量；質(zhì)心；動量定理及質(zhì)心運動定理；動量及質(zhì)心運動守恒；動量矩；動量矩定理；動量矩守恒；功；動能；勢能；動能定理及機械能守恒；

3. 剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程；轉(zhuǎn)動慣量；回轉(zhuǎn)半徑；平行軸定理；

4. 剛體作平動和繞定軸轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)軸垂直于剛體的對稱面）時慣性力系的簡化；

5. 達朗伯原理與動靜法（動力學(xué)問題等效用靜力學(xué)的方法處理）

6. 質(zhì)點的直線振動：

自由振動微分方程；固有頻率；周期；振幅；衰減振動；阻尼對自由振動振幅的影響——振幅衰減曲線；受迫振動；受迫振動頻率；幅頻特性（共振）

一、動力學(xué)基本定律和質(zhì)點運動微分方程

（一）動力學(xué)基本定律(牛頓三大定律)

1．第一定律——慣性定律

慣性定律的內(nèi)涵揭示了以下四點：

1）慣性：物體不受力的作用，則將保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)。物體屬性。同時規(guī)定了參考系——慣性參考系。

2）慣性量度：質(zhì)量。質(zhì)量越大，慣性越大。

3）質(zhì)量的測定：質(zhì)量與狀態(tài)沒有任何關(guān)系。所以可以通過某地的重力及加速度求得：m=g/g

4）力：力是物體間的相互作用。（有力，物體狀態(tài)改變，就有加速度。）

2．第二定律——力與加速度的關(guān)系定律

質(zhì)點受一力f作用時所獲得的加速度a的大小與力f的大小成正比，而與質(zhì)點的質(zhì)量成反比；加速度的方向與作用力方向相同，即

ma=f      (4-3-1)

如果質(zhì)點同時受幾個力的作用，則上式中的f應(yīng)理解為這些力的合力,而a應(yīng)理解為這些力共同作用下的質(zhì)點的加速度，這樣式(4—3—1)可寫為

ma=σfi         (4-3-2)

1）對質(zhì)點適合

2) 合力與加速度瞬時對應(yīng)，（先有力后有加速度）加速度隨著合力的變化而變化（大小和方向）

式(4—3—1)或式4—3—2)稱為質(zhì)點動力學(xué)基本方程。

 

上述描述的是一個質(zhì)點的情況，第三描述兩個質(zhì)點之間的相互作用。

 

3．第三定律——作用與反作用定律

兩質(zhì)點相互作用的力總是大小相等，方向相反，沿同一直線，并分別作用在兩質(zhì)點上。

作用力和反作用力同存亡。（一個消失，另一個消失；一個出現(xiàn)，另一個也出現(xiàn)）

（二）運動微分方程

根據(jù)質(zhì)點動力學(xué)基本方程ma=f,可推導(dǎo)出的運動微分方程

其中a是運動學(xué)量，所以對a進行變化,可以得到v，r，得到運動微分方程。

1）.矢量形式

2）.直角坐標(biāo)形式

3）.自然軸形式

要合理利用牛頓運動：：：：

必須注意:

l         這些方程只適用于慣性坐標(biāo)系（牛一規(guī)定的），物體運動速度遠小于光速。其中各項加速度必須是絕對加速度（慣性參考系，如地球）；采用自然軸投影形式的運動微分方程必須已知運動軌跡。

l         直角坐標(biāo)投影形式和自然軸投影形式的運動微分方程是兩種常用的投影形式。根據(jù)問題的需要，還可以有其他投影形式的運動微分方程。

l         質(zhì)點的運動微分方程可用來解決質(zhì)點動力學(xué)二類基本問題。

(1)已知質(zhì)點的運動，求作用在質(zhì)點上的力。

(2)已知作用于質(zhì)點上的力，求質(zhì)點的運動。

兩種問題的解決化為關(guān)于求導(dǎo)問題和積分問題的運算。

 

可能有人會說，近代相對論力學(xué)先進，為什么還學(xué)習(xí)這些經(jīng)典力學(xué)？

由于一般工程問題中，大多問題都屬于上述的適用范圍，因此以基本定律為基礎(chǔ)的古典力學(xué)在近代工程技術(shù)中仍占有很重要的地位。日常生活中的現(xiàn)象都遵循牛頓運動定律。

（三）例題

[例4—3—1］ 圖4—3—1所示半徑為r的偏心輪繞o軸以勻角速度轉(zhuǎn)動，推動導(dǎo)板ab沿鉛垂軌道運動。已知偏心距oc＝e，開始時oc沿水平線。若在導(dǎo)板頂部放有一質(zhì)量為m的物塊m，求：(1)物塊對導(dǎo)板的最大反力及此時偏心c的位置；(2)使物塊不離開導(dǎo)板的ω的最大值。

直線運動；動力學(xué)微分方程；第一類問題

    一看本體屬于第一類問題：已知運動求受力，會用到導(dǎo)數(shù)計算。

[解]  本題根據(jù)題意可列出物塊的運動方程，運用導(dǎo)數(shù)的運算可求物塊的加速度。于是應(yīng)用質(zhì)點的運動微分方程，可求出導(dǎo)板對物塊的反力。

 

屬于第一類問題。

       (1)對象：取物塊m為研究對象。

      (2)受力分析：選任一瞬時t進行分析，作用于物塊上的力有重力p和導(dǎo)板對物塊的作用力n，受力圖如圖4—3—1(b)所示。

(3)運動分析：物塊沿鉛垂線運動。

      (4)選坐標(biāo)：由于物塊沿鉛垂線運動，將坐標(biāo)原點取在固定點o上，并取x軸鉛垂向上為正。

      (5)建立運動微分方程并解。

應(yīng)用直角坐標(biāo)形式微分方程：得

物塊放在導(dǎo)板上，導(dǎo)板作平動，故物塊的加速度即等于導(dǎo)板的加速度。根據(jù)題意可列出導(dǎo)板上d的運動方程為

對該式求二次導(dǎo)，得到物塊的加速度

將式(3)代入式(1)，得

可以看到n隨著t變化，sinwt

由式(4)可見，當(dāng)sinωt=-1時，即c點在最低位置，n達到最大值

當(dāng)sinωt=1時，即c點在最高位置，n達到最小值

欲使物塊不離開導(dǎo)板，（離開的臨界條件是n=0）則nmin≥0，即

故物塊不離開導(dǎo)板ω的最大值為。

本題考點：1）第一類問題的解法。2）直線運動

[例4—3－2]  圖4—3—2(a)所示橋式起重機上的小車，吊著重為p=100kn的物體沿水平橋架以速度v₀=lm／s作勻速直線移動。重物的重心到懸掛點的距離為l=5m。當(dāng)小車突然停車時，重物因慣性而繼續(xù)運動，此后則繞懸掛點擺動。試求鋼絲繩的最大拉力。

其中運動：圓周運動（曲線運動），動力學(xué)方程，第二類問題

      [解]  1）取重物為研究對象，并將重物視為質(zhì)點。

2）確定受力和運動的情況。確定停車前的狀態(tài)，明確了停車后的初態(tài)。

小車停車前：物體勻速直線運動；停車后：以一定初速度做圓周運動。

設(shè)小車突然停車后的任意瞬時t，鋼絲繩與鉛垂線的夾角為φ (鉛垂軸x的正向逆時針轉(zhuǎn)向量取為正)。作用在重物上的力有：重力p和鋼絲繩的拉力t，受力圖如圖4-3—2b所示。

3）選擇運動坐標(biāo)和列動力學(xué)微分方程：軌跡清楚，選擇自然坐標(biāo)系。取自然軸系的τ、n軸的正向如圖示(τ軸指向φ增加的一方，沿運動方向)。由式(4—3—5)可得

τ向：（涉及速度，列如下動力學(xué)方程）

   （ma=f_τ）

n向：

顯然，（v, φ，t三個未知數(shù)。）如能求出（1）中的v(這是第二類問題)，則代人式(2)即可求得t。

（1）       中v，φ都是未知量，能直接找到兩者關(guān)系最好

由運動學(xué)知dφ/dt=w=v/l,代人(1)可得：（微分變換的應(yīng)用）

 

或

將初始條件帶入積分，得到v。

初始條件：在初瞬時(即小車突然停車的瞬時)，重物的速度為v。，鋼絲繩與鉛垂線的夾角為零，即t=0時，v=v₀,φ=0；（我們用微分方程時，取任意時刻）

而在任一瞬時t時，重物的速度為v，鋼絲繩與鉛垂線的夾角為φ。作定積分得

式(3)就是重物的速度變化規(guī)律。當(dāng)φ增大。v隨之減小，當(dāng)φ=0時，v=v₀，v值為最大。

由式(2)得

因為當(dāng)φ=0時，v具有最大值v。，cosφ=1也為最大值，故此時t具有最大值

將，

代入式(5)，可得

 

練習(xí)題：1. 已知物體初始位置如圖，剪斷其中一根繩子，剪斷繩子瞬間，細繩的拉力是（）

abcd

通過以上兩個典型例題，對直線運動，曲線運動，運用動力學(xué)方程，求解了兩類問題。

 

（四）解題注意事項

1，質(zhì)點動力學(xué)基本方程只適用于慣性坐標(biāo)系，各項加速度必須為絕對加速度。（排除了相對加速度）

2．有限個質(zhì)點組成的質(zhì)點系用動力學(xué)基本方程求解時，必須對每一個質(zhì)點建立方程。

3．建立質(zhì)點運動微分方程時，應(yīng)將質(zhì)點置于一般位置分析受力與運動，且此位置處于坐標(biāo)系的第一象限為妥。同時必須注意力和加速度在坐標(biāo)軸上的投影的正負號。

 

研究質(zhì)點運動微分方程之后，將繼續(xù)學(xué)習(xí)動力學(xué)普遍定理，它包括動量定理(含質(zhì)心運動定理)、動量矩定理和動能定理。這些定理都是從動力學(xué)基本方程推導(dǎo)得來的。它們建立了一些表明運動的度量(動量、動量矩和動能)與表明力的作用效果的量(如沖量、力矩和功)之間的關(guān)系。應(yīng)用這些定理解一些動力學(xué)問題是比較方便的。（基礎(chǔ)——衍生的定理；解題難易：復(fù)雜——簡單），解題時能用普遍定理，就不用動力學(xué)基本定理

 

從數(shù)學(xué)上看，這些定理只是在一定條件下運動微分方程另一種形式或它們的積分，但經(jīng)過數(shù)學(xué)變換而出現(xiàn)在各定理中的量(動量、動量矩、動能、沖量、功等)都有明確的物理意義，各相關(guān)量之間也有簡單而確定的關(guān)系，這不僅使我們對機械運動的了解更深入，而且能更有效地進行研究。下面依次研究這些定理，重點是質(zhì)點系有關(guān)定理。