點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)和剛體的平面運(yùn)動(dòng)

三、點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)

這部分內(nèi)容，主要是應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解的概念，研究同一動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于兩個(gè)不同參考系的運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，即在不同的參考系中看同一動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，他們之間的關(guān)系。從而建立了點(diǎn)的速度合成定理和加速度合成定理。

（一）靜系·動(dòng)系

固結(jié)在某一參考體上的坐標(biāo)系oxyz稱為靜坐標(biāo)系，簡(jiǎn)稱靜系。

我們常說(shuō)的是慣性參考系是地球，所以地球表面上的坐標(biāo)系作為靜系。

固結(jié)于相對(duì)靜系運(yùn)動(dòng)的參考體上的坐標(biāo)系o’x’y’z’稱為動(dòng)坐標(biāo)系，簡(jiǎn)稱動(dòng)系。

（二）三種運(yùn)動(dòng)·三種速度·三種加速度

我們常說(shuō)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都是相對(duì)于慣性參考系——靜系——的運(yùn)動(dòng)。

動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于靜系的運(yùn)動(dòng)稱為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)。即相對(duì)于慣性參考系的運(yùn)動(dòng)。對(duì)應(yīng)絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度。

動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系中的軌跡、速度和加速度稱為動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)軌跡、相對(duì)速度和相對(duì)加速度，并以v_a和a_a分別表示此速度和加速度。

兩個(gè)坐標(biāo)系、動(dòng)系相對(duì)靜系的運(yùn)動(dòng)稱為牽連運(yùn)動(dòng)。

在某一瞬時(shí)，動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的一點(diǎn)稱為動(dòng)點(diǎn)在此瞬時(shí)的牽連點(diǎn)。牽連點(diǎn)的速度和加速度稱為動(dòng)點(diǎn)在該瞬時(shí)的牽連速度和牽連加速度，并分別以v_r和a_r表示之。

上述三種運(yùn)動(dòng)的關(guān)系如圖4—2—8所示。即動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)可視為相對(duì)運(yùn)動(dòng)與牽連運(yùn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)。反之，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)也可分解為牽連運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

（三）點(diǎn)的速度合成定理

可以證明，動(dòng)點(diǎn)的三種速度v_a，v_e，v_r之間有如下關(guān)系式：

v_a=v_e+v_r

即動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度等于它的牽連速度和相對(duì)速度的矢量和，這就是點(diǎn)的速度合成定理。根據(jù)此定理可知v_a，v_e，v_r構(gòu)成一速度平行四邊形，其對(duì)角線為絕對(duì)速度va。

由于每個(gè)速度矢量包含大小和方向二個(gè)量，因此上式總共含有六個(gè)量，當(dāng)已知其中任意四個(gè)量時(shí)，便可求出其余兩個(gè)未知量。

應(yīng)當(dāng)指出，由于存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，所以不同瞬時(shí)，動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的那一點(diǎn)即牽連點(diǎn)，在動(dòng)系上的位置也隨之而變化的。

（四）點(diǎn)的加速度合成定理

動(dòng)點(diǎn)的加速度合成與牽連運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)有關(guān)，當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的加速度合成定理如下：

牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)：

a_a=a_e+a_r

牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)：

a_a=a_e+a_r+a_k

式中a_k稱為科氏加速度。它是由于牽連運(yùn)動(dòng)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)相互影響而產(chǎn)生的。a_k的矢量表達(dá)式為

a_k=2ω×v_r

其中ω為動(dòng)系的角速度矢。設(shè)ω與v_r間的夾角為θ (圖4—2—9)，則a_k的大小為

a_k=2ωv_rsinθ

a_k的指向由ω與v_r的矢積確定。

對(duì)于平面機(jī)構(gòu)，因a_a、a_e、a_r和a_k等各加速度矢都位于同一平面中，所以運(yùn)用加速度合成定理只能求解大小或方向共兩個(gè)未知量。由于a_a或a_e或a_r都可能存在切向與法向兩個(gè)加速度分量，因此在求解中，常應(yīng)用合矢量投影定理進(jìn)行具體計(jì)算。

（五）應(yīng)用速度或加速度合成定理解題的一般步驟和方法

1．分析機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)題意適當(dāng)?shù)剡x取動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和靜系。

在一般機(jī)構(gòu)中，通常可選取傳遞運(yùn)動(dòng)的接觸點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，與其鄰接的剛體為動(dòng)系。

2．分析絕對(duì)運(yùn)動(dòng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)。

絕對(duì)運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)都是指動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。分別指在靜系和動(dòng)系坐標(biāo)上看到的動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。而牽連運(yùn)動(dòng)是指動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)，也就是固結(jié)著動(dòng)系的剛體相對(duì)靜系的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)。

3．分析動(dòng)點(diǎn)的各種速度或加速度，圖示速度或加速度矢量圖。

動(dòng)點(diǎn)的v_a、a_a和v_r、a_r一般可以根據(jù)其絕對(duì)運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析。

4．根據(jù)速度和加速度合成定理求解。

(1)運(yùn)用a_e=v_e+v_r，求解未知量時(shí)，一般可應(yīng)用幾何法，畫矢量圖解。

(2)應(yīng)用加速度合成定理時(shí)，首先要區(qū)分牽連運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)還是轉(zhuǎn)動(dòng)，然后列出相應(yīng)的矢量式，即

a_a=a_e+a_r，或a_a=a_e+a_r+a_k，所以，通常應(yīng)用合矢量投影定理進(jìn)行具體計(jì)算。

（六）例題

[例1] 曲柄oa長(zhǎng)為r，以勻角速度ω繞軸o逆時(shí)針向轉(zhuǎn)動(dòng)，從而通過(guò)曲柄的a端推動(dòng)滑桿bc沿鉛直方向上升，如圖4—2—10所示。求當(dāng)θ=60⁰時(shí)，滑桿bc的速度和加速度。

[解] ：關(guān)鍵找牽連點(diǎn)

a相對(duì)地面做繞o的轉(zhuǎn)動(dòng)

同時(shí)在bc這個(gè)動(dòng)坐標(biāo)系上

a點(diǎn)是牽連點(diǎn)

1. 選取靜系和動(dòng)系：取oa上的a點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，滑桿bc為動(dòng)系。

2. 確定三種運(yùn)動(dòng)

動(dòng)點(diǎn)a的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是圓周運(yùn)動(dòng)；

相對(duì)運(yùn)動(dòng)是水平直線運(yùn)動(dòng)；

牽連運(yùn)動(dòng)是滑桿bc的平動(dòng)。

3. 矢量三種運(yùn)動(dòng)的關(guān)系

動(dòng)點(diǎn)a的速度和加速度矢量圖如圖4—2—10所示。

a的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以加速度只有向心加速度，也就是他的實(shí)際的加速度（合加速度）；

相對(duì)運(yùn)動(dòng)是直線運(yùn)動(dòng)，所以加速度沿水平方向；

牽連運(yùn)動(dòng)是豎直方向的平動(dòng)，加速度方向沿豎直方向；

由圖4—2—10所示的速度和加速度平行四邊形，得滑桿bc的速度v和加速度a的大小為

方向如圖示。

解題的關(guān)鍵是選擇牽連點(diǎn)。如果本題取滑桿上的a₁點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，oa桿為動(dòng)系。則a₁點(diǎn)的相對(duì)軌跡顯然不是一條水平直線。

我們可以這樣思考，設(shè)桿oa不轉(zhuǎn)動(dòng)，僅bc桿運(yùn)動(dòng)，則a₁點(diǎn)相對(duì)桿oa作鉛垂直線運(yùn)動(dòng)；反之，若桿bc不動(dòng)，僅oa桿轉(zhuǎn)動(dòng)，則a₁要相對(duì)桿oa作順時(shí)針向的圓周運(yùn)動(dòng)。圓周運(yùn)動(dòng)成為牽連運(yùn)動(dòng)。

實(shí)際上，桿oa與bc同時(shí)在運(yùn)動(dòng)，故a_l點(diǎn)相對(duì)桿oa的相對(duì)運(yùn)動(dòng)應(yīng)是鉛垂直線運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)。那么在加速度計(jì)算中，除多一項(xiàng)ak外，還因相對(duì)軌跡未知，造成了arn的計(jì)算困難。

合適選取牽連點(diǎn)。

[例2] 圖示平面機(jī)構(gòu)中，桿ab以勻速u沿水平方向運(yùn)動(dòng)，并通過(guò)滑塊b推動(dòng)桿oc轉(zhuǎn)動(dòng)。試求α=60⁰時(shí)，滑塊b相對(duì)桿oc的加速度和桿oc的角加速度。

[解]

這也是一個(gè)典型的合成運(yùn)動(dòng)題。在此直接選定b為牽連點(diǎn)。

1. 選擇牽連點(diǎn)，選擇靜系和動(dòng)系：取滑塊b為動(dòng)點(diǎn)，桿oc為動(dòng)系。

2. 確定三種運(yùn)動(dòng)：

動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是水平直線運(yùn)動(dòng)；

相對(duì)運(yùn)動(dòng)是沿桿oc的直線運(yùn)動(dòng)；

牽連運(yùn)動(dòng)是桿oc繞軸o的轉(zhuǎn)動(dòng)。

3. 運(yùn)動(dòng)的矢量分析

動(dòng)點(diǎn)b的速度分析如圖4-2-11所示。由圖示的幾何關(guān)系，得

因ob=b／sina，則α=60⁰時(shí)，桿oc的角速度為

轉(zhuǎn)向順著ve的指向，如圖4—2—11所示。

本體中的牽連運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)。

根據(jù)牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理，可作出動(dòng)點(diǎn)b的加速度矢量圖如圖4—2—12所示。

因a_a=0，a_a=a_e+a_r+a_k

故得

式中

將上述矢量式分別向x軸和y軸投影，得

由此可解得桿oc的角加速度ε和a_r分別為

應(yīng)當(dāng)注意，圖中標(biāo)示的ε轉(zhuǎn)向要與aeτ的指向保持一致，故ε得負(fù)值，表示與圖示的ε轉(zhuǎn)向相反，即為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向。

若將角α視為變量，求v_r和ω對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，則亦可解得a_r和ε，即

因ω的轉(zhuǎn)向與α正向相反，故有dα／dt=－ω，將此關(guān)系式和α=60⁰代入以上二式，則得

這里a_r取正值，表示與v_r方向一致；

ε取負(fù)值，表示與ω轉(zhuǎn)向相反。此結(jié)果與上述結(jié)果相同。

注意，關(guān)系式a_eτ=dv_e/dt是不成立的。因v_e=usinα是反映了不同瞬時(shí)的牽連點(diǎn)的速度與角α的函數(shù)關(guān)系，并不表示圖示瞬時(shí)牽連點(diǎn)的速度的函數(shù)關(guān)系，故dv_e／dt不是圖示瞬時(shí)牽連點(diǎn)的切向加速度。但當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)時(shí)，a_eτ=dv_e/dt是成立的。其理由請(qǐng)讀者自行思考。

四、剛體的平面運(yùn)動(dòng)

應(yīng)用合成運(yùn)動(dòng)的概念，將剛體的平面運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，并據(jù)此來(lái)研究平面運(yùn)動(dòng)剛體的角速度、角加速度及其剛體上任一點(diǎn)的速度和加速度。

（一）剛體的平面運(yùn)動(dòng)方程

1．平面運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，剛體上任一點(diǎn)離某固定平面的距離始終保持不變，稱這種運(yùn)動(dòng)為剛體的平面運(yùn)動(dòng)。

剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為一平面圖形在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。

2．運(yùn)動(dòng)方程

設(shè)平面圖形s在固定平面oxy內(nèi)運(yùn)動(dòng)(圖4－2—15)，顯然，圖形s的位置完全由其上任一線段o’m的位置所確定。這就是說(shuō)，圖形s在任一瞬時(shí)的位置可用任一點(diǎn)o’的坐標(biāo)xo’、yo’及o’m與x軸正向間的夾角φ來(lái)表示。即剛體的平面運(yùn)動(dòng)方程可寫為

通常，將o’點(diǎn)稱為基點(diǎn)。

（二）平面運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)

若取oxy為靜系，平面圖形上任一點(diǎn)o’為基點(diǎn)，并在o’點(diǎn)上固結(jié)一隨其作平動(dòng)的動(dòng)系o’x’y’(圖4—2—15)。則圖形s的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為繞基點(diǎn)o’的轉(zhuǎn)動(dòng)；圖形的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)就是平面運(yùn)動(dòng)；而牽連運(yùn)動(dòng)為動(dòng)系隨基點(diǎn)o’的平動(dòng)。由此可見(jiàn)，平面圖形s的運(yùn)動(dòng)可以分解為隨基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。為了方便，在下面敘述中，一般將不再圖示動(dòng)系和靜系。

應(yīng)當(dāng)注意，平面運(yùn)動(dòng)隨同基點(diǎn)的平動(dòng)規(guī)律與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，而繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。因此，在論及角速度和角加速度時(shí)，無(wú)需指明它們是對(duì)哪個(gè)基點(diǎn)而言的，并可統(tǒng)稱為圖形的角速度和角加速度。又因動(dòng)系作平動(dòng)，故在動(dòng)系中觀察到圖形的角速度與角加速度就是圖形相對(duì)靜系的絕對(duì)角速度和絕對(duì)角加速度。

（三）平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度

平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度有三種求解方法，如表4—2—7所示。通常，瞬心法和投影法應(yīng)用較多。

表中，關(guān)系式稱為速度投影定理，該定理對(duì)任何運(yùn)動(dòng)形式的剛體都是適用的。由于它是一個(gè)代數(shù)方程，故根據(jù)此定理可求出式中一個(gè)未知量。

由瞬心法所表述的關(guān)系式可知，當(dāng)以速度瞬心c為基點(diǎn)時(shí)，平面圖形上各點(diǎn)的速度分布規(guī)律與剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)一樣。因此，平面圖形在任一瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)可以看成繞速度瞬心c的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)。于是，速度瞬心又稱為平面圖形的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心，圖形上任—點(diǎn)m與c點(diǎn)的連線，稱為瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)半徑。顯然，在不同瞬時(shí)，平面圖形具有不問(wèn)的速度瞬心。

瞬心法的關(guān)鍵是確定平面圖形在每一瞬時(shí)的瞬心位置，表4—2—8給出了按巳知運(yùn)動(dòng)條件，確定平面圖形速度瞬心c的幾種方法.

表 4-2-8

應(yīng)該注意，剛體作瞬時(shí)平動(dòng)時(shí)，其各點(diǎn)的速度相等，角速度為零。但此瞬時(shí)，剛體各點(diǎn)的加速度并不相同，且角加速度亦不為零。

（四）平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度

由牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)的點(diǎn)的加速度合成定理，可得平畫圖形上任一點(diǎn)m的加速度關(guān)系式為

稱此為加速度合成法或基點(diǎn)法。式中a_o’為基點(diǎn)o’的加速度；相對(duì)切向加速度大小，方位垂直o’m，指向順著角加速度ε的轉(zhuǎn)向；相對(duì)法向加速度大小，方位沿著o’m連線，并總是指向基點(diǎn)o’。

上式是一個(gè)平面矢量等式，故可用以求解式中兩個(gè)未知量。

（五）平面運(yùn)動(dòng)分析的內(nèi)容和方法

研究平面運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)，主要是分析剛體的角速度ω、角加速度ε及其體上一點(diǎn)的速度v、加速度a。由于在實(shí)際機(jī)構(gòu)中，平面運(yùn)動(dòng)剛體通常與平動(dòng)剛體、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體等組成平面機(jī)構(gòu)，因而平面運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)分析問(wèn)題，常常包含在平面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析之中。這就是說(shuō)剛體所涉及到的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，通常是綜合性問(wèn)題，需要靈活應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)加以分析。下面結(jié)合平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析，著重將平面運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)分析的內(nèi)容和步驟歸納如下。

1．根據(jù)機(jī)構(gòu)的約束條件，判斷各剛體的運(yùn)動(dòng)類型，即哪些剛體作平動(dòng)，哪些剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)或平面運(yùn)動(dòng)，或純滾動(dòng)。

同時(shí)，弄清相鄰兩剛體的連接情況，相鄰兩剛體是通過(guò)連接點(diǎn)(如鉸接點(diǎn))還是接觸點(diǎn)(如凸輪與挺桿的接觸點(diǎn))進(jìn)行運(yùn)動(dòng)傳遞的?若是接觸點(diǎn)，相接觸的兩點(diǎn)之間是否有相對(duì)運(yùn)動(dòng)?在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，接觸點(diǎn)是否有變化?等等。

2．明確求解思路。

一般，從已知運(yùn)動(dòng)的剛體著手，通過(guò)連接點(diǎn)或接觸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分析，求解指定剛體或點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。

一般來(lái)說(shuō)，連接點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，可用剛體運(yùn)動(dòng)知識(shí)進(jìn)行分析；

接觸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可用點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)概念進(jìn)行分析。

但應(yīng)當(dāng)注意，當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為剛體的平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)有科氏加速度存在。此外，有時(shí)運(yùn)用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)直接求解更為方便。

3．平面圖形的角速度及其剛體上任一點(diǎn)的速度分析。

通常，點(diǎn)的速度求解，可應(yīng)用速度投影定理或速度瞬心法，或兩者綜合應(yīng)用；

圖形的角速度求解，可用速度瞬心法。

但當(dāng)給出的題意條件不能選用此兩種方法求解未知量時(shí)，則可選用速度合成法。

在求解過(guò)程中，應(yīng)注意下面幾點(diǎn)。

(1)根據(jù)選用的求解方法，圖示必要的運(yùn)動(dòng)元素及幾何關(guān)系。

(2)在應(yīng)用速度合成法時(shí)，點(diǎn)的絕對(duì)速度必須是速度平行四邊形的對(duì)角線；

在應(yīng)用速度投影定理時(shí)，所選的兩點(diǎn)必須在同一平面圖形上；

在應(yīng)用速度瞬心法時(shí)，要正確地找出圖形的速度瞬心位置，且圖形的瞬心位置將隨時(shí)間而改變。

(3)剛體的平動(dòng)和平面圖形的瞬時(shí)平動(dòng)兩者不可混淆。

平動(dòng)剛體的角速度和角加速度均為零，其體上各點(diǎn)的速度和加速度均相等；

而瞬時(shí)平動(dòng)是指某瞬時(shí)，該平面圖形的角速度等于零，但角加速度不等于零；其體內(nèi)各點(diǎn)的速度相等，但各點(diǎn)的加速度不等。

4．平面圖形的角加速度及其體上任一點(diǎn)的加速度分析。運(yùn)用加速度合成法求解時(shí)，應(yīng)考慮如下幾方面問(wèn)題。

(1)在作加速度分析以前，為了便于解得各法向加速度，一般先作速度分析，求出圖形的角速度及其體上相應(yīng)點(diǎn)的速度。

(2)選已知點(diǎn)作為基點(diǎn)，根據(jù)加速度合成法列出所求點(diǎn)的加速度矢量式，并據(jù)此在該點(diǎn)處圖示各項(xiàng)加速度矢量。這里，應(yīng)提請(qǐng)注意，由于速度瞬心的加速度并不等于零。因此，在圖示加速度時(shí)，切不可將速度瞬心誤作為加速度瞬心處理。

(3)用加速度合成法建立的加速度矢量等式是一個(gè)平面矢量等式，故據(jù)此等式只能求解兩個(gè)未知量，且通常是選用合矢量投影定理進(jìn)行具體計(jì)算。

(4)半徑為r、圓心為o的圓輪，沿固定面作純滾時(shí)，其與固定面的接觸點(diǎn)c的速度和加速度為v_c=0和a_c≠0，且有關(guān)系式ω₀=v₀/r和ε₀=。

（六）例題

[例3 在圖4—2—16所示曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，曲柄oa以角速度ω和角加速度ε繞o軸轉(zhuǎn)動(dòng),并通過(guò)連桿帶動(dòng)滑塊b在圓形槽內(nèi)滑動(dòng)。如oa=r,ab=2r,且圖示瞬時(shí)，α=30º，φ=60°，求在該瞬時(shí)，滑塊b的切向和法向加速度。

[解] 桿ab作平面運(yùn)動(dòng)，

v_a,v_b互相不垂直：參見(jiàn)兩個(gè)速度互相不垂直，求速度瞬心的方法：做垂直于兩者速度方向的直線，他們的交點(diǎn)就是速度瞬心。

得到其圖示位置的速度瞬心為點(diǎn)c，故由速度瞬心法得b點(diǎn)的速度大小

（或者用投影法自己求解，a，b速度在ab上的投影相等）

方向如圖。桿ab的角速度大小為

轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r(shí)針向。

以上可以作為一個(gè)選擇題

于是，b點(diǎn)的法向加速度大小為

（a_n=v²/r, r是圓周半徑，是cb的一半，或者叫曲率半徑）

方向如圖。

為求，現(xiàn)根據(jù)加速度合成法列出a_b的表達(dá)式

將上式投影到x軸上，得

式中（以a為基點(diǎn)，b相對(duì)于a定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）

代入上式，并經(jīng)整理后得b點(diǎn)的切向加速度大小為

若(2ε—)>o，則圖示的指向是正確的，否則反之。

注意，b點(diǎn)繞o1點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ωl和角加速度ε1與桿ab的ωab和εab是不同的。

[例4] 圖示機(jī)構(gòu)由曲柄連桿機(jī)構(gòu)使齒條i作往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)。曲柄oa繞軸o順時(shí)針向轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)速為n=60r／min，oa=10cm，ab=20cm齒輪o₁、o₂上下均與齒條嚙合。求當(dāng)φ=90°時(shí)，齒條i的速度和加速度。