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（三）向量組的秩

定義設(shè)有向量組 a ( a 可以含有限個向量，也可以含無限多個向量），如果在 a 中能選出 r 個向量 α₁, α₂， … ，α_r，滿足

( i ) α₁, α₂， … ，α_r線性無關(guān)；

( ii ) a 中任意 r 十 1 個向量都線性相關(guān)。

則向量組α₁, α₂， … ，α_r稱為向量組 a 的最大線性無關(guān)向量組（簡稱最大無關(guān)組），數(shù) r 稱為向量組 a 的秩。只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為 0。

按此定義可知：向量組 a 線性相關(guān)的充分必要條件是 a 的秩小于 a 所含向量的個數(shù)；線性無關(guān)的充分必要條件是 a 的秩等于 a 所含向量的個數(shù)。

定義設(shè)有兩個向量組 a 與 b ，如果 a 中每個向量都能由向量組 b 線性表示，則稱向量組 a 能由向量組 b 線性表示。如果向量組 a 與 b 能相互線性表示，則稱向量組 a 與 b 等價。

顯然，一個向量組與它自己的最大無關(guān)組等價。

定理  若向量組 a 能由向量組 b 線性表示，則向量組 a 的秩不大于向量組 b 的秩。若向量組 a 與 b 等價，則它們的秩相等。

注意向量組等價與矩陣等價是兩個不同的概念，不要混淆。

定理  若矩陣 a 經(jīng)行變換變?yōu)榫仃?/span> b ，則 a 的行向量組與召的行向量組等價；若矩陣 a 經(jīng)列變換變?yōu)?/span> b ，則 a 與 b 的列向量組等價；矩陣 a 的行向量組的秩以及列向量組的秩都等于矩陣 a 的秩。

由上述兩定理可推知

( i ）設(shè) n 個 n 維向量構(gòu)成方陣 a ，則此n個向量線性相關(guān)的充分必要條件是| a | =0。

( ii ）設(shè) dr 是矩陣 a 的最高階非零子式，則 dr 所對應(yīng)的 r 個行向量即是 a 的行向量組的最大無關(guān)組， dr 所對應(yīng)的r個列向量即是 a 的列向量組的最大無關(guān)組。

( iii ）設(shè) c ＝ab，則r（ c ）≤ r ( a ) , r ( c ) ≤（ b ）。當(dāng)b可逆時， r ( c ) = r ( a ) ，當(dāng) a 可逆時， r ( c ) = r ( b ）。

（五）例題

[ 例 1 - 8 - 9 ］設(shè) a 為n階方陣，且| a | =0，則必有

( a ) a 中某一行元素全為 0

( b ) a 的第n行是其余，n - 1 行的線性組合

( c ) a 中有兩列對應(yīng)元素成比例

( d ) a 中某一列是其余 n - 1 列的線性組合

【 解 】 | a | =0是 a 的、行（列）線性相關(guān)的充分必要條件，而前三項都是充分條件而是非必要條件，只有（ d ）是充分必要條件，故應(yīng)選（ d ）。

 

【 解 】 （ b ）和（ c ）是必要條件但不是充分條件； ( d ）是充分條件但不是必要條件。（ a ）是線性無關(guān)定義的正確敘述，故應(yīng)選（ a ）。

故 r ( a ) = 3 ，從而列向量組的秩為 3 。由階梯形矩陣知1，2 , 5 列中有 3 階非零子式，故 a_l , a₂, a₅ 是列向量組的一個最大無關(guān)組。

 

四、線性方程組

（一）齊次線性方程組

1 . n 個變量 m 個方程的齊次線性方程組

記

則方程組（ 1 - 83 ）可記作

其中 a 稱為方程組（ 1 - 8 - 3 ）的系數(shù)矩陣。式（ 1 - 8 - 4 ）是一個向量方程，它的解稱為方程組（ 1 - 8 - 3 ）的解向量。

2 ．齊次線性方程組通解齊次線性方程組（ 1 – 8-3 ）的全體解向量所組成的向量組記作 s , s 的最大無關(guān)組稱為齊次線性方程組（ 1 -8-3 ）的基礎(chǔ)解系。

定理設(shè)齊次線性方程組（ 1 – 8-3 ）的系數(shù)矩陣 a 的秩 r ( a ) = r , ，則其解集 s 的秩為 n - r ，即它的基礎(chǔ)解系含n - r 個線性無關(guān)的解向量。

      

其中 k_l ，k₂， … ， k _n-r，為任意實數(shù)。

（二）非齊次線性方程組

1 ．非齊次線性方程組

記

則式（ 1 - 85 ）可記作

其中 b ≠ 0 , a 稱為方程組（ 1-8-5 ）的系數(shù)矩陣。

當(dāng) b 用0代替，式（ l – 8-6 ）即成式（1-8-4 ）。( l – 8-4 ）稱為非齊次方程組所對應(yīng)的齊次方程組。

方程組（ 1-8 - 5 ）如果有解．就稱它是相容的．（1 – 8-6 ) 如果無解則稱它不相容。

記

b 稱為方程組（ 1-8 - 5 ）的增廣矩陣。

定理  非齊次線性方程組（ 1 - 8 - 5 ）有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩，即 r ( a ) = r ( b ）。當(dāng) r ( a ) = r ( b ) ＝n時方程組（ 1 - 8 - 5 ）有唯一解；當(dāng) r ( a ) = r ( b ) < n 時方程組（1- 8 - 5 ）有無限多個解。

2 ．非齊次線性方程組的通解

 

（三）用初等行變換解線性方程組

把齊次方程組的系數(shù)矩陣化為行最簡形，即可寫出它的通解。把非齊次方程的增廣矩陣化為階梯形，即可知它是否有解；在有解時繼續(xù)化為行最簡形，即可寫出它的通解（參看例 18 - 14 與例 1 - 8 -15 ) 。

 

 

（四）例題

【 例 1 - 8 - 13 】已知方程組

有無窮多個解，則參數(shù)λ＝

( a ) 0       

( b ) 1        

( c ) 2        

( d ) 3

可知當(dāng)λ＝ 1 , r ( a ) = 2 , λ＝ 3 時 r ( a ) = 3 ，方程組有唯一解，

故（ b ) 與（ d ）不合；當(dāng)λ＝ 0 時 r ( b ) = 3 ，無解，故（ a ）不合；當(dāng)λ＝ 2 時 r ( a ) = r ( b ) = 2 ，有無窮多個解，故應(yīng)選（ c ）。

 

【 例1- 8 - 14 】 求解方程組

【 解】用初等行變換，把系數(shù)矩陣化為行最簡形：

 

【 例1- 8 - 15 】 求解方程組

【 解 】把增廣矩陣化為行最簡形：

（四）向量的內(nèi)積與范數(shù)

 1 ．向量的內(nèi)積與范數(shù)

設(shè)

令

[x ，y]稱為向量 x 與 y 的內(nèi)積（數(shù)量積）。

當(dāng) x 、 y 為列向量時，用矩陣記號表示，有

令

|| x ||稱為向量 x 的范數(shù)（模、長度）。

范數(shù)等于 1 的向量稱單位向量。

2 ．正交向量組與正交矩陣

當(dāng) [x ，y] ＝ 0 時，稱向量 x 與 y 正交。

一組兩兩正交的非零向量稱為正交向量組。

定理設(shè)α₁, α₂， … ，α_r為一個正交向量組，則 α₁, α₂， … ，α_r線性無關(guān)。

設(shè)方陣 a 滿足aa^t = e （即 a^t = a^-1) ，則 a 稱為正交矩陣。

正交陣的行向量組及列向量組都是正交向量組，且每個向量都是單位向量。

 

特征值與特征向量

定義 設(shè) a 為 n 階方陣，如果數(shù)λ與非零列向量 x 使

則數(shù)λ稱為方陣 a 的特征值，非零向量 x 稱為 a 的對應(yīng)特征值入的特征向量。

記 f （λ）= | a –λe |，這是λ的n次多項式，稱為矩陣 a 的特征多項式。 f （λ）= 0 稱為特征方程，特征方程的根就是 a 的特征值。 n 階方陣 a 有n個特征值（實的或復(fù)的，重根按重數(shù)計算個數(shù)）。

設(shè)λ₀是 a 的一個特征值，由于| a –λ₀e | = 0 ，故齊次方程（ a -λ₀e ) x= 0 必有非零解，這個非零解就是對應(yīng)于特征值λ₀的特征向量。

定理設(shè) a 是 n 階實對稱方陣，則 a 的特征值都是實數(shù)，且有二個兩兩正交的特征向量。

相似矩陣

定義設(shè) a 、 b 都是n 階方陣。如果可逆陣 p 使

則稱 b 是 a 的相似矩陣，也稱 a 與 b 相似（或稱 a 是 b 的相似矩陣，也稱 b 與 a 相似。

       當(dāng) a 與 b 相似時， a 與 b 的秩相等，且 a 與 b 等價。相似矩陣的特征多項式相同，從而特征值相同

       當(dāng)n階方陣 a 與對角陣λ相似時，即存在可逆陣 p 使

       則 λ的主對角線上的元素恰是 a 的二個特征值，組成 p 的 n 個列向量恰是 a 的對應(yīng)特征值的特征向量

       定理 n 階方陣 a 能與對角陣相似的充分必要條件為 a 有 n 個線性無關(guān)的特征向量。

       定理如果 n 階方陣 a 有 n 個不同的特征值，那么 a 必定能與對角陣相似。

       定理 n 階實對稱陣必定能與對角陣相似。

 

【 例1- 8 - 18 】設(shè) 2 是方陣 a 的特征值，則 a² - 3a + e 必有特征值

( a ) 0      

( b ) 1     

( c ）- 1     

( d ）以上都不對

六、二次型

（一）二次型及其矩陣表示

二次齊次函數(shù)

稱為二次型。

其中 a 為對稱陣。對稱陣 a 就稱為二次型 f 的矩陣，而 f 就稱為對稱陣 a 的二次型。規(guī)定二次型 f 的秩就是對稱陣 a 的秩。

合同矩陣

（二）二次型的標(biāo)準(zhǔn)形

只含平方項的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。對于二次型，主要的問題是：尋求可逆的線性變換

把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，這就是使

這也就是要尋求可逆陣 c ，使

定理  對于對稱陣 a ,必有正交陣p，使

其中

但是，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一，即與對稱陣 a 合同的對角陣不唯一。當(dāng)然，這些對角陣的秩都等于 r ( a ）。

慣性定理

給定二次型f，它的不同標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)取正值的個數(shù)（稱為正慣性指數(shù)）保持不變。

給定對稱陣 a ，與 a 合同的一切對角陣中主對角線元素取正值的個數(shù)全相等。

 

正定二次型

（三）例題

( a ) 0  

( b ) 1    

( c ) 2     

( d ) 4

【 解 】 對 f 的矩陣施行初等變換：

由 f 的秩為 2 知 r ( a ）= 2 ，故 a - 2 = 0 , a = 2 。因此應(yīng)選（ c ）。

故所用正交變換為