（三）逆陣

對(duì)于 n 階方陣 a ，若存在 n 階方陣 b ，使

則稱方陣 a 是可逆的， b 是 a 的逆陣，記作 a ^-1 。

對(duì)于可逆矩陣有：

當(dāng) a 可逆時(shí)，規(guī)定 a⁰＝ e ,a ^-k = ( a ^-l) ^k 。

由|a|的代數(shù)余子式a_ij所構(gòu)成的，階方陣

稱為方陣 a 的伴隨陣。根據(jù)行列式性質(zhì) 8 和 9 ，可得

定理 n 階方陣 a 可逆的充分必要條件是|a|≠0。當(dāng)|a|≠0 時(shí)，

由定理可知，可逆陣就是非奇異陣，不可逆矩陣就是奇異陣。

（四）矩陣的初等變換

1 ．矩陣的初等變換與矩陣的等價(jià)

下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：

初等變換是可逆的。這就是說，若矩陣 a 經(jīng)初等變換變?yōu)?/span> b ，則 b 亦可經(jīng)初等變換變?yōu)?/span> a 。

若矩陣 a 經(jīng)初等變換變?yōu)?/span> b ，則稱矩陣 a 與 b 等價(jià)，記作 a ~ b 。

a_m_×n~b _m_×n，的充分必要條件是：存在脫階可逆陣p和 n 階可逆陣 q ，使paq = b。

方陣 a 可逆的充分必要條件是 a ~ e 。

2 ．行階梯形及標(biāo)準(zhǔn)形

矩陣經(jīng)初等行變換可變?yōu)樾须A梯形和行最簡形，再經(jīng)初等列變換可變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形。例如：

上面最后一個(gè)矩陣稱為行階梯形，它的特點(diǎn)是每個(gè)階梯只有一行。繼續(xù)施行初等行變換，可把它化成行最簡形：

上面最后一個(gè)矩陣稱為行最簡形，它的特點(diǎn)是行階梯形中非零行的第一個(gè)非零元素為1，且含這些元素的列的其他元素都是零。再施行初等列變換，可把它變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形：

上面最后一個(gè)矩陣稱為標(biāo)準(zhǔn)形，它的特點(diǎn)是：左上角是一個(gè)單位矩陣，其余元素都是零。

把矩陣化為行階梯形和行最簡形，是矩陣求秩和解線性方程組的有效手段。矩陣的許多運(yùn)算都可以通過初等變換來實(shí)現(xiàn)。

3 ．用初等變換求逆陣

當(dāng)方陣 a 可逆時(shí)， a 可經(jīng)初等行變換變?yōu)?/span> e ，因此對(duì)n ×2n矩陣（ a | e ）施行行變換，當(dāng)把 a 化為 e 時(shí)， e 就化為 a^-1。

（五）矩陣的秩

定義在矩陣 a 中任取 k 行 k 列，這些行列交叉處的元素按它們?cè)?/span> a 中的排列所構(gòu)成的行列式，稱為矩陣 a 的 k 階子式。

m ×n矩陣共有c^k_mc^k_n個(gè) k 階子式。

定義如果在矩陣 a 中有一個(gè) r 階非零子式 dr ，而所有 r + 1 階子式全等于 0 ，那么 dr 稱為矩陣 a 的最高階非零子式，數(shù)，稱為 a 的秩，記作 r ( a ）。零矩陣沒有非零子式，規(guī)定零矩陣的秩為 0。

定理若 a ~ b ，則 r ( a ) = r ( b ）。

這一定理說明初等變換不改變矩陣的秩，因此，當(dāng)把矩陣變?yōu)樾须A梯形，即可看出矩陣的秩，因?yàn)樾须A梯形的秩就等于非零行的行數(shù)。由此還可知，若 r ( a ) = r ，則 a 的標(biāo)準(zhǔn)形左上角為 r 階單位陣，矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形由其行數(shù) m 、列數(shù)n及秩 r 所完全確定。