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全微分方程

 

幾種可降階的方程

這類方程可直接積分，積分一次得

即把原方程降低一階。積分 n 次，即可得通解

      

      

       這是不顯含 y 的二階方程，令，則，代人即得

      

這樣就把二階方程降為一階方程。設(shè)求得此一階方程的通解為，則原方程的通解為

這是不顯含 x 的二階方程，令，則

代人方程得

即把二階方程降為一階方程。設(shè)求得此一階方程的通解為，即，分離變量并積分得原方程的通解為

（四）例題

1．求方程

的通解。

【 解 】 這是不顯含 y 的方程，令，則，代人方程，得一階線性方程

利用通解公式（ 1-5-4 ) ,有

積分得

2．求微分方程

滿足初始條件的解。

【 解 】這是不顯含 x 的方程。令，則，代入方程得

積分得

由 y = 1 時(shí) p = 2 ，得 c_l = 0 ，且知負(fù)號(hào)不合，故

積分得

由得 c₂ = 4 ，于是所求特解為

線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理

設(shè)有二階齊次線性方程

則有

例題

寫出該方程的通解

二階常系數(shù)線性齊次方程

二階常系數(shù)線性齊次方程的一般形式是

稱為微分方程的特征方程，特征方程的根稱為特征根。

按特征根的情況，可直接寫出方程的通解如下：

例題1．

 

例題2．