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第一節(jié) 空間解析幾何 部分

一、主要內(nèi)容

（一）向量代數(shù)

（二）空間解析幾何

1、向量的概念：定義:既有大小又有方向的量稱為向量.

自由向量、相等向量、負(fù)向量、重要概念:零向量、向量的模、單位向量、平行向量、向徑.

2、向量的線性運(yùn)算

(1)  加法：

(2)  減法：

(3)  向量與數(shù)的乘法：

3、向量的表示法

向量的分解式：

在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：

向量的坐標(biāo)表示式：

向量的坐標(biāo)：

向量的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標(biāo)表達(dá)式

向量模長的坐標(biāo)表示式

向量方向余弦的坐標(biāo)表示式

4、數(shù)量積(點(diǎn)積、內(nèi)積)

數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式

兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式

5、向量積(叉積、外積)

向量積的坐標(biāo)表達(dá)式

6、混合積

（二）空間解析幾何

空間直角坐標(biāo)系

 

 

空

間

直

角

坐

標(biāo)

系

 

共有一個(gè)原點(diǎn),三個(gè)坐標(biāo)軸,三個(gè)坐標(biāo)面,八個(gè)卦限.

兩點(diǎn)間距離公式:

它們距離為

2、曲面

曲面方程的定義：

研究空間曲面的兩個(gè)基本問題：

（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀.

（1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程.

[1] 旋轉(zhuǎn)曲面

定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱之.

這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸.

方程特點(diǎn):

                            

 

（1）球面                  （2）圓錐面                     （3）旋轉(zhuǎn)雙曲面

                           

 [2] 柱面

定義：平行于定直線并沿定曲線c移動(dòng)的直線l所形成的曲面稱之.

這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.

從柱面方程看柱面的特征：

                         

 

(1)  平面              (2)  圓柱面          (3)  拋物柱面            (4)  橢圓柱面

                               

 [3] 二次曲面

定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.

           

（1）橢球面                     （2）橢圓拋物面

         

                          

（3）馬鞍面             （4）單葉雙曲面                （5）圓錐面

                

3、空間曲線

[1] 空間曲線的一般方程

[2]  空間曲線的參數(shù)方程

如圖空間曲線

一般方程為

參數(shù)方程為

 [3]  空間曲線在坐標(biāo)面上的投影

設(shè)空間曲線的一般方程：

消去變量z后得：

曲線在xoy面上的投影曲線為

yoz面上的投影曲線

xoz面上的投影曲線

如圖:投影曲線的研究過程.

空間曲線             投影曲線            投影柱面

 [4]  空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影

空間立體

曲面